Décomposition en éléments simples

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La décomposition en éléments simples est la démarche inverse de celle que l'on fait, quand on additionne des fractions, en les réduisant au même dénominateur. Une fraction rationnelle va être écrite comme somme d'un polynôme (souvent nul) et d'éléments simples. Les éléments simples qui vont intervenir dans cette somme découlent de la décomposition du dénominateur (et donc de ses racines réelles ou complexes).

Régle 1 : si au dénominateur le terme en (xa) est à la puissance 1, alors la décomposition fait apparaître un élément simple de la forme : \dfrac A{(x-a)}

Régle 2 : si au dénominateur le terme en (xa) est à la puissance n, alors la décomposition fait apparaître n élément simple d'ordre 1, 2, ..., n de la forme : \dfrac{A_1}{(x-a)}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+...+\dfrac{A_n}{(x-a)^n}

Régle 3 : si au dénominateur le terme en (x2 + p.x + q) est à la puissance 1, alors la décomposition fait apparaître un élément simple de la forme : \dfrac{\alpha .x+\beta }{(x^2+p.x+q)}

Règle 4 : si au dénominateur le terme en (x2 + p.x + q) est à la puissance n, alors la décomposition fait apparaître n élément simple d'ordre 1, 2, ..., n de la forme : \dfrac{\alpha_1.x+\beta_1}{(x^2+p.x+q)}+\dfrac{\alpha_2.x+\beta_2}{(x^2+p.x+q)^2}+...+\dfrac{\alpha_n.x+\beta_n}{(x^2+p.x+q)^n}


La principale difficulté consiste à déterminer les différents coefficients (A, B, ...). S'il est possible d'identifier ces coefficients en réduisant au même dénominateur les éléments simple, cette méthode est fastidieuse. Il est préférable d'opérer de manière astucieuse.

Astuce 1 : on multiplie tout par (xa)n avec a une racine réelle de degré n et on prend x=a.

Astuce 2 : on multiplie tout par x et on fait tendre x vers l'infini.

Astuce 3 : on prend des valeurs simple pour x (0, 1, -1...).

Exemple :

Soit à décomposer : f(x)=\dfrac{2x+3}{x^3-5x^2+8x-4}

On identifie les racines : f(x)=\dfrac{2x+3}{(x-1)(x-2)^2}

On obtient la décomposition : f(x)=\dfrac A{(x-1)}+\dfrac B{(x-2)}+\dfrac C{(x-2)^2}


Astuce 1 : on multiplie tout par (x − 1) : \dfrac{2x+3}{(x-1)(x-2)^2}.(x-1) =\dfrac{A(x-1)}{(x-1)}+\dfrac{B(x-1)}{(x-2)}+\dfrac{C(x-1)}{(x-2)^2}

On prend la valeur x=1 ce qui donne :\dfrac 5{(-1)^2}=A+0+0

donc A=5


Astuce 1bis : on multiplie par (x − 2)2 : \dfrac{2x+3}{(x-1)(x-2)^2}.(x-2)^2 =\dfrac{A(x-2)^2}{(x-1)}+\dfrac{B(x-2)^2}{(x-2)}+\dfrac{C(x-2)^2}{(x-2)^2}

On prend la valeur x=2 ce qui donne : \dfrac 7{(1)}=0+0+C

donc C=7


Astuce 2 : on multiplie tout par x : \dfrac{2x+3}{(x-1)(x-2)^2}.x =\dfrac{A.x}{(x-1)}+\dfrac{B.x}{(x-2)}+\dfrac{C.x}{(x-2)^2}

et on fait tendre x vers l'infini : \lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{2x^2}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left[ \dfrac{A.x}x+\dfrac{B.x}x+\dfrac{C.x}{x^2}\right]

ce qui donne : 0 = A + B + 0 donc B=-5

Et la solution est donc : f(x)=\dfrac 5{(x-1)}+\dfrac 7{(x-2)}+\dfrac{-5}{(x-2)^2}


Exercice

Décomposer f(x)=\dfrac{1}{x^3(x^2+1)(x-1)}

Niveau Solution

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